Posts Tagged ‘Semi-Science’

היכונו לביאת הרובוטים

Monday, October 13th, 2014

העברתי היום באייקון הרצאה על רובוטים
האירוע באייקון
תודה לכל מי שהגיע, היה כיף

גרסת רשת של המצגת

ביבליוגרפיה
The Onion – Are We Giving Robots Too Much Power?
Portal – This Is Aperture
Cats vs Roomba
Giant fire breathing baby
iDiots
Agent Smith Commercial
Mac vs PC
The Chubbchubbs
Sound of Cylons
Living Person: Niels Bohr: “Prediction is very difficult, especially if it’s about the future”
Living Person: Herbert Alexander Simon – Robot Predictions
Living Person: Asimov – Frankenstein complex, Laws of robotics
Story: R.U.R – a 1920 Czech science fiction play
Comics: XKCD
Comics: Saturday Morning Breakfast Cereal
Comics: Optipess
Episode: Dexter’s Lab – Hamhocks and Armlocks
Episode: Star Trek – Redemption part II
Episode: Futurama – Mother’s Day
TV Show: Black Mirror
TV Show: Real Humans (Äkta människor)
Movie: The Terminator
Movie: A.I. Artificial Intelligence
Movie: Short Circuit
Movie: The Matrix
Movie: Space Odyssey
Movie: I, Robot
Movie: Robocop
Movie: Wall-e
Movie: Transformers
Movie: App the movie
Chatbot: ELIZA
Chatbot: Cleverbot
Chatbot: Eugene Goostman
Chatbot: Bildgesmyth the dragon
Technology: Deep Blue Chess Computer
Technology: Unmanned aerial vehicle
Technology: Watson Jeopardy Computer
Technology: HBF – The human brain project
Technology: Google driverless car
Technology: Hiroshi Ishiguro – human looking robots
Technology: Nintendo R.O.B.
Technology: da Vinci Surgical System
Technology: Stuxnet
Technology: Self printing printer
Technology: Reading Brain Waves
Technology: Mars Exploration
Technology: Arduino
Technology: Lego Robots

על מה מתערבים?

Wednesday, April 6th, 2011

הפוסט הקרוב הוא מתמטי וארוך.
ניסיתי לקבץ חלקים מסויימים ממנו בתקווה שזה יאפשר לכל אחד להתמקד בנושאים שמעניינים אותו, אשמח לשמוע את דעתכם על הניסיון הזה.

אספר על מכונת הימורים שחשבתי עליה, ולדעתי מעלה שאלות מעניינות על האינטואיציה שלנו.

למכונה שלי יש את התכונה הבאה: בחצי מהמקרים היא נותנת את התוצאה 2, ברבע מהמקרים היא נותנת את התוצאה 4, בשמינית מהמקרים היא נותנת את התוצאה 8 וכן הלאה…
כלומר – היא נותנת רק חזקות של שתיים, והסבירות לכל תוצאה, היא 1 חלקי התוצאה.
תכונה של המכונה הזו היא שלכל מספר שתבחרו (אפילו אי זוגי), הסיכוי שיצא מספר גדול ממנו הוא פחות מאחד חלקי המספר.
[spoiler name=”איך בונים מכונה כזו?”]המכונה אולי נשמעת מסובכת, אבל מימוש שלה הוא די פשוט:
לוקחים מטבע, וזורקים אותו עד שיוצא פלי.
אם יצא פלי בניסיון הראשון, התוצאה שלנו היא 2
(הסיכוי שיצא פלי בניסיון ראשון הוא בדיוק חצי)
אם יצא פלי בניסיון שני, התוצאה היא 4
אם יצא פלי בניסיון הK
התוצאה היא 2 בחזקת K
בהנחה שהמטבע הוגן, זו בדיוק המכונה שתיארתי[/spoiler]
עכשיו אני מציב את המכונה הזו במרכז העיר ומזמין אתכם להמר. ההימור פועל כך:
עליכם לבחור מספר כלשהו כרצונכם.
אתם מושכים את ידית ההימורים הגדולה, המספרים רצים קצת בשביל הרושם, ואז מופיע מספר על המסך הגדול של המכונה.
אם המספר שבחרתם גדול מהמספר במסך, אני משלם לכם את ההפרש.
אם המספר שבחרתם קטן מהמספר במסך, אתם משלמים לי את ההפרש.
(לצורך העניין, נדבר על סכומים בשקלים)

תופעות מעניינות במכונה הזו:
אין מגבלה על הסכום שאתם מהמרים עליו.
ככל שתהמרו על סכום גדול יותר, הרווח שלכם יגדל, והסיכון שלכם יפחת.

[spoiler name=”דוגמאות פשוטות”]נניח למשל שבחרתם 10
יש לכם 50% להרוויח 8 שקלים
25% להרוויח 6 שקלים
12.5% להרוויח 2 שקלים
6.25% להפסיד 6 שקלים
6.25% להפסיד יותר מעשרה שקלים

אם לעומת זאת תהמרו על מיליון שקלים
יש יותר מ99% שתרוויחו יותר מ900,000 שקלים
וסיכון של פחות מאחד למיליון שתפסידו כסף.[/spoiler]עכשיו השאלות הן:
האם הייתם מסכימים להמר?
על איזה סכום?
האם עדיף עם מכונה כזו להיות הקזינו, או הלקוח?
אני חושב שהאינטואציה מצביעה בבירור שכדאי להמר במכונה כזו.
למעשה, לא כל כך ברור שזה נכון, מצד שני, גם לא ברור שלא.

נעבור לניתוח המכונה:
קודם כל
[spoiler name=”איך אפשר בכלל להפסיד כשרוב הסיכויים הם לנצח?”]בשביל לתת אינטואציה שזה בכלל אפשרי, נערוך את הניסוי הבא:
אני אטיל קוביה.
אם יוצא אחד עד חמש, אני משלם לכם מאה שקל.
אם יוצא שש, אתם משלמים לי מיליון שקלים.
האם הייתם מוכנים לשחק במשחק הזה?
כנראה שלא.
(אם אני טועה, צרו איתי קשר באופן מיידי!)
למרות שרוב הסיכויים הם שתנצחו במשחק הזה, הסיכון שאתם לוקחים במקרה שתפסידו הוא גבוה מדי. אפילו אם אתם משחקים רק פעם אחת. משהו דומה קורה במכונה שבניתי – אומנם הסיכוי להפסיד הוא ממש קטן, אבל הסכומים שאפשר להפסיד הם ממש גדולים.[/spoiler]
מי שיודע לחשב תוחלת, יודע שהתוחלת של המכונה שלי היא אינסופית.
[spoiler name=”מה זו תוחלת?”]תוחלת, באופן אינטואיטיבי, היא התוצאה הממוצעת של הניסוי.
אם התוחלת של הניסוי היא אינסופית, זה לא אומר שבממוצע כשנריץ אותו נקבל אינסוף, הרי תמיד נקבל תוצאות סופיות, וברוב הפעמים אפילו תוצאות קטנות מעשר.
אז מה זה כן אומר?
זה אומר שלכל מספר שנבחר, אם נריץ את המכונה מספיק פעמים, הממוצע יעבור אותו מתישהו.
למה זה קורה?
נסתכל על הרצה “אפשרית” של המכונה, שבה התוצאות ייצגו את ההתפלגות באופן המלא ביותר.

נריץ את המכונה בכמות הולכת וגדלה:
שתי הרצות:
2, 2*
ממוצע = 2

ארבע הרצות:
2, 2, 4, 2*
ממוצע = 2.5

שמונה הרצות:
2, 2, 2, 2, 4, 4, 8, 2*
ממוצע = 3.25

16 הרצות:
2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 8, 8, 16, 2*
ממוצע = 4.125

2* מתווסף לכל רשימה על מנת לאפשר שכל שאר התוצאות חוץ ממנו, יהיו בדיוק לפי ההתפלגות שקבענו.
אפשר להחליף אותו בכל מספר, והתופעה תשאר כפי שהיא.[/spoiler]בסופו של דבר, אם החלטתם להמר במכונה שלי, והימרתם על אלף שקלים, הפעולה שלי תהיה להמשיך ולתת לאנשים להמר.
ברגע שאני אמצא אלף אנשים שיסכימו להמר על אותו הסכום, אחד מהם כנראה יצא מופסד.
ברגע שאני אמצע מיליון אנשים שיסכימו להמר על אותו הסכום, כנראה שיהיה לי רווח.
(מאחר ומדובר בהסתברות, המילה כנראה נמצאת פה הרבה)

אם אני מסוגל להרוויח כסף, סימן שההימור שלכם לא משתלם, הסיכון גבוה מדי.
ואכן זה כך, אין מגבלה במכונה לסכום כסף שאני עלול לדרוש מכם על השתתפות בה.

[spoiler name=”יישום מעשי – פקדון”]בואו נהיה לרגע מעשיים.
נניח ואני אתפוס אדם תמים ברחוב ואציע לו את העסקה, הוא יסכים ויהמר על עשרה שקלים צנועים, אומנם זה קורה רק פעם במיליון, אבל דווקא אצלו זה קרה – המכונה כתבה את המספר מיליון. הוא יראה זאת, יבהל ויברח, הרי בכלל אין לו מיליון שקלים בבנק גם אם ימשכן את כל רכושו.
אנשים כאלו, יהרסו את הרווח שלי כבעל קזינו. על מנת למנוע מקרים כאלו, מבלי להרוס את המכונה שבניתי, אני דורש פקדון.
אקבע את הפקדון כך שאם אנשים יחליטו לברוח, הכסף שהם ישאירו עדיין יהיה מספיק כדי שלאורך זמן אני אצא ברווח.
לא משנה מה הפקדון שאקבע, הוא לא ישפיע על המכונה. הרי אם תנצחו תקבלו את הכסף המגיע לכם, והפקדון יחזור אליכם במלואו. ואם תפסידו, תשלמו את הסכום שאתם חייבים לי, ותקבלו מה שנשאר מהפקדון חזרה בהנחה ונשאר.
השוני היחיד הוא במידה ותחליטו לברוח, והרי אתם הנכם אנשים הגונים, שלא כמו אותו אדם תמים. אתם תשארו עם העסקה עד הסוף.

הפקדון שאקבע לצורך כך יהיה בגודל המסובך הבא:
תקחו את הסכום שבחרתם, תוסיפו לו אחד.
שתים בחזקת התוצאה, זה גודל הפקדון.

פקדון זה יבטיח לי רווח לאורך זמן.
אם למשל תרצו לשחק את המשחק על עשרה שקלים, תצטרכו לשלם פקדון של אלפיים שקל.
תרצו לשחק על עשרים, הפקדון יהיה מעל מיליון.

אם פתאום אתם חושבים שהמשחק נשמע פחות מפתה, האם יכול להיות שבעצם גם אתם אנשים לא הגונים? שלא באמת התכוונתם לשלם כל סכום שעלול לצאת?![/spoiler]אם שכנעתי אתכם שעדיף להיות בצד הקזינו, ואתם רוצים למהר למרכז העיר ולהתחיל לחפש קורבנות:
[spoiler name=”חכו עוד רגע אחד”]באופן מעשי, פתרון הפקדון לא מאפשר לבן אנוש להמר על יותר מ100 שקל.
אם גם ככה שמים מגבלה על סכום ההימור, אפשר לקבוע מגבלה שרירותית אחרת, למשל 1000 שקל. עבור סכום מקסימלי של X שקלים, ייקח סדר גודל של X משחקים עד שתשלים את ההפסד ההתחלתי ותתחיל להרוויח (כל עוד מדובר בשחקנים הגונים, אבל אם יש מגבלה על הסכום המקסימלי אפשר לשים מגבלה על החוב, וכך להשיג משחק הגון יותר בקלות)
רק שבעצם, אם שמים גג למספר המקסימלי שאפשר להמר, הורגים את המשחק. כי לאף אחד לא יהיה אינטרס להמר פחות מזה, וזה הופך למכונת הימורים פשוטה ומשעממת.

אז בואו נגיד שהשארנו את שיטת הפיקדון שלא מאפשרת לבני אנוש להמר יותר מ100 שקלים. מה קורה אם פתאום באים יצורים מהחלל החיצון, שיכולים להרשות לעצמם להמר על זיליארד דולרים ולתת פקדון של 2 בחזקת זיליארד דולרים?
קרוב לוודאי (בהסתברות ההופכית של 1 לזיליארד) שהם ינצחו בהימור הזה, ואז אתה הקזינו תהיה בחובות של זיליארד דולרים וכנראה שברגע זה תהפוך לאותו אדם לא ישר שנאלץ לברוח על חייו (מומלץ לברוח עם הפיקדון)
איך זה מסתדר עם זה שהמכונה שלנו אמורה להיות רווחית?
היא תהיה רווחית, אם יהיו עוד זיליארדים של חייזרים שיהמרו על זיליארד דולרים. אבל מאחר וחייזרים שמוכנים להמר על זיליארדי דולרים לא נפוצים במחוזותינו, המכונה לא תהיה רווחית (בסבירות מאוד גבוהה)

לסיום, לא צריך להרחיק עד החלל החיצון בשביל להכנס לחובות.
הסיבה שהמכונה עובדת הוא בגלל שיש פה פונקצית רווח שעולה מספיק מהר. אם יבוא מישהו ויתחיל להמר בפונקצית הימורים שתעלה יותר מהר מהפונקציה שלנו, הוא יוכל להבטיח לעצמו רווח בטוח לאורך זמן!
איך עושים את זה?
באים ומהמרים על שלושה שקלים.
אחר כך על תשעה שקלים.
אחר כך על 28 שקלים.
בהימור הX מהמרים על 3 בחזקת X שקלים.
גם אם בדרך הוא ייכנס לחובות של מיליוני שקלים, השיטה הזו תבטיח שבהמשך הדרך הכסף יחזור אליו.[/spoiler]
סיכום:
המכונה הזו, על אף היותה פשוטה מאוד לבנייה בפועל, היא בעייתית דיה כך שאין אינטרס להשתמש בה כנראה לא מצד המהמר ולא מצד הקזינו.
אך היא נראית בעיני ככלי מצויין לפיתוח אינטואציה אודות הסתברות, ולפיתוח דיון מעניין.

בעית ארבע הצבעים

Tuesday, May 4th, 2010

בעית ארבע הצבעים היא בעיה במתמטיקה האומרת שניתן לצבוע כל מפה בעזרת ארבעה צבעים בלבד כך שלא יהיו שני שטחים שנוגעים זה בזה.
אתם מוזמנים להתנסות בצביעת מפה באופן כזה עם האפליקציה הזו:

[swfobj src=”http://www.nikoli.com/swf/four_color_problem_001_en.swf”]
מפות נוספות

הבעיה הזו עניינה אותי במיוחד, בגלל שהיא מקשרת בין עולם המתמטיקה לעולם המחשבים.
בשנת 1976 חוקרים מאוניברסיטת אלנוי הצליחו להוכיח את המשפט.
הם הוכיחו זאת על ידי פירוק הבעיה ל1936 תת-בעיות קטנות ובדיקת כל אחת מהן בנפרד במחשב, הרצה שנמשכה מספר ימים.

החיבור בין מתמטיקה למחשבים הוא הכרחי, אך לא טבעי. החוקרים בשני התחומים הם בעלי מנטליות שונה לחלוטין. למשל מחקר חדש במתמטיקה צריך לעבור תהליך של חודשים עד שנים של בדיקה על ידי מומחים לפני שהוא מפורסם, לעומת זאת מחקר במחשבים שיקח לו יותר מחודש להתפרסם עלול לאבד רלוונטיות.

הפער הקשה לגישור הזה גרר הרבה ביקורת על ההוכחה מצד מתמטיקאים.
שתי הטענות שאתייחס אליהן הן:
ההוכחה לא תקפה – מתמטיקה היא מדע מדויק, הוכחה צריכה להרשם באופן שניתן לעבור על כל פרט שלה, אסור שמחשב יבדוק אותה כי אפילו אם קיים סיכוי של 0.00001% לטעות (בין אם באלגוריתם, בהקלדה, במימוש של המחשב או טעות מכנית שכן מחשב הוא מכונה מבוססת זרם חשמלי) אז זו לא הוכחה מתקבלת. גם אם נבדוק את האלגוריתם ונריץ על המון מחשבים, וניתן למחשבים לבדוק אחד את השני, מאחר ולעולם אנשים לא יוכלו לעבור שלב שלב על ההוכחה כולה היא לא תקפה.
ההוכחה לא יפה – הרבה מתמטיקאים התאכזבו לגלות שכך הוכח המשפט, מאחר ובדרך כלל הוכחה של משפט מתמטי מלווה בשימוש במספר כלים ממספר תחומים שבאופן מפתיע משתלבים יחד. בדרך כלל מעצם ההוכחה מקבלים תובנות חדשות שאינן נובעות מעצם המשפט שהוכח לבדו. בהוכחה שמבוססת על בדיקת המון מקרים אחד אחד זה לא קורה.

אני, שמגיע מתחום המחשבים, מתנגד נחרצות לטענות האלו, על סף האשמת המתמטיקאים בטכנופוביה (בלי הכללות, הרבה מהם כן מקבלים את ההוכחה)
לטענתי:
ההוכחה כן תקפה – אנחנו יודעים איך מחשב עובד, ונוכל לבדוק את ההוכחה שוב ושוב ככל שהטכנולוגיה תשתפר ולכן יחסית אפשר לסמוך עליו. כשאני אומר יחסית, אני מתכוון לעומת מכונות מבוססות אינטרקציות כימיות אקראיות, שאנחנו לא מבינים איך הן עובדות, אנחנו יודעים בוודאות שבמקרים מסוימים תפיסת המציאות שלהן שגויה, ורוב ההוכחות המתמטיות בוצעו על ידן: בני האדם.
ההוכחה כן יפה – ברגע שהצלחנו להוכיח בעיה מתמטית בעזרת מחשב, נפתח בפנינו עולם חדש שלם של גישה לבעיות מתמטיות, אילו עוד בעיות אפשר להכריע באופן דומה? איך פותרים בעיות מורכבות יותר?
חוץ מזה שעל מנת להצליח לפתור בעיה מתמטית עם מחשב, צריכים לעשות שימוש לא צפוי בידע ממקומות שונים של מדעי המחשב, ומקבלים תובנות חדשות על שימוש באלגוריתמים.

נושא בעית ארבע הצבעים היווה נקודה מרכזית בנוגע לתפיסה שלי במתמטיקה, כך לראשונה נחשפתי לעובדה שתקפות של הוכחה מתמטית הוא נושא בר וויכוח. אני מקווה לשוב לדון על תופעה מעניינת זו בפוסטים עתידיים.

לקריאה נוספת: משפט ארבעת הצבעים בויקיפדיה

משפט גדל על רגל אחת*, או: למה אם אני כותב בספר את שמו אז הירח עשוי מגבינה צהובה

Thursday, March 18th, 2010

אני הולך לנסות לתת אינטואיצה למשפט שגדל הוכיח לגבי בסיס המתמטיקה.
קודם כל הייתי זקוק לאינטואציה הזו לעצמי, על מנת להבין האם משפטים כמו:
“משפט שהוכח באופן מתמטי עשוי יום אחד להיות מופרך” הם נכונים
(המשפט הזה למשל, אינו נובע ממשפט גדל)

אחרי שנוצרה אצלי מספיק אינטואציה בשביל לענות על השאלה הזו, אני רוצה לשתף את האינטואיציה עם אחרים.

mooncheese.jpeg

— חלק א: הכירות עם פרדוקס —
יש לי הרבה ספרים בבית, למשל “אשתו של הנוסע בזמן” (מומלץ), ולמשל “איש הקובייה” (גם מומלץ).
ואז הבחנתי בדבר מעניין, בספר אשתו של הנוסע בזמן, מעולם לא מתייחסים אל האשה בתור “אשתו של הנוסע בזמן”, למעשה הטקסט הזה לא מופיע בספר פרט לכותרת.
לעומתו בספר “איש הקובייה” הגיבור בשלב מסויים מתייחס לעצמו בתור: “איש הקובייה” ושם הספר מופיע בתוך הספר עצמו.
החלטתי לעשות רשימה של כל הספרים שיש לי בבית, ולכן יצרתי שני קבצים במחשב:
“ספרים שהשם שלהם מופיע בהם”, “ספרים שהשם שלהם לא מופיע בהם”
ובכל קובץ רשמתי את השמות של כל הספרים בספרייה שלי בהתאם.
רגע לפני שהדפסתי, הבנתי שכשאדפיס אצטרך להוסיף עוד שני שמות לספרים שלי, הספר: “ספרים שהשם שלהם מופיע בהם” והספר: “ספרים שהשם שלהם לא מופיע בהם”
הוספתי את שניהם בסוף הרשימה של: ספרים שהשם שלהם לא מופיע בהם.
הספר: ספרים שהשם שלהם מופיע בהם, לא מופיע בעצמו והוא שמח ומוכן להדפסה.
אבל פתאום הספר – ספרים שהשם שלהם מופיע בהם, מופיע בעצמו.
אז העברתי אותו לרשימה השניה, אבל אז הוא לא הופיע בעצמו וכן הופיע ברשימה של ספרים שהופיעו בעצמם.
ניסיתי לרשום אותו בשני הקבצים, או לא לרשום אותו באף קובץ ושום פתרון לא הצליח.
ניסיתי לשנות את השם שלו ל”ספרים שלא מופיעים בספר – ספרים שהשם שלהם מופיע בהם”
ואז יכולתי לרשום אותו בעצמו
אבל שוב – אז הייתי צריך לרשום אותו ב: ספרים שהשם שלהם מופיע בהם.
בסופו של דבר הדפסתי רק את הספר – ספרים שהשם שלהם מופיע בהם, ועל השני נאלצתי לוותר.

— חלק ב*: משפט גדל על רגל אחת —
גם במתמטיקה קרה שהגיעו למקרים דומים למקרים כאלו, מקרים שבהם נתקעים ואין ברירה אלא לוותר.
וויתור יכול להיות ספציפי – לא נדפיס ספר בשם: ספרים שהשם שלהם לא מופיע בהם.
או כללי – לא נדפיס ספרים שהשם שלהם מופיע בעצמם.
מה שגדל הוכיח הוא שלכל מתמטיקה שנבנה, או כל סט של חוקים שנחליט עליו תתקיים אחת משתי אפשרויות:
1. ניתן להוכיח דברים שאינם נכונים (מערכת כזו נוצרת כאשר אנחנו יכולים לבנות דברים מוזרים כמו הספר – ספרים שהשם שלהם לא מופיע בהם)
2. יהיו דברים נכונים שלא ניתן להוכיח (מערכת כזו, לא תאפשר לי ליצור ספר בעייתי כזה, אבל עשוי להיות שגם לא אוכל ליצור את הספר – ספרים שהשם שלהם מופיע בהם)

— חלק ג: המשמעות של בחירה באפשרות 1 —
אפשר לומר: בסדר, למתמטיקה יש יצורים מוזרים. למשל מעכשיו אקרא לספר: ספרים שהשם שלהם לא מופיע בהם – “הספר המוזר”
אפשר גם להחליט שכל פעם שנתקל ביצור מוזר נוותר עליו באופן ספציפי.
הבעיה במתמטיקה כזו, היא שאנחנו עלולים לא לדעת שהספר המוזר הוא אכן מוזר, שני מתמטיקאים מוכרים יגיעו באופן חוקי לשתי תוצאות שונות:
מתמטיקאי ידוע 1 מגלה שהספר המוזר מכיל את עצמו.
מתמטיקאי ידוע 2 מגלה שהספר המוזר לא מכיל את עצמו.
שניהם הגיעו למסקנה שלהם באופן מתמטי תקין.


מתמטיקאי מטורף, אילוסטרציה

אבל אז יבוא מתמטיקאי מטורף ויאמר כך:
“הספר המוזר” מכיל את עצמו ו/או הירח עשוי מגבינה צהובה.
הוא בא אל מתמטיקאי 1 ושואל מה דעתו על המשפט שלו.
המתמטיקאי אומר לו – המשפט נכון.
הספר המוזר אכן מכיל את עצמו, ובפרט נכון לומר ש:
“הספר המוזר” מכיל את עצמו ו/או הירח עשוי מגבינה צהובה.
וכך יהיה משפט מתמטי חדש, שהוכר על ידי מתמטיקאי ידוע.
יבוא המתמטיקאי המטורף למתמטיקאי 2 ויראה לו,
הנה משפט שהוכר על ידי מתמטיקאי ידוע:
“הספר המוזר” מכיל את עצמו ו/או הירח עשוי מגבינה צהובה.
המתמטיקאי הזה יודע שהספר המוזר אינו מכיל את עצמו, ולכן נובע שהירח עשוי מגבינה צהובה.
עכשיו על סמך מתמטיקאים ידועים – הירח עשוי מגבינה צהובה.
ולפיסיקאים שכידוע לא מתווכחים עם מתמטיקאים, יש בעיות חמורות.

— חלק ד: המשמעות של בחירה באפשרות 2 —
ניתן להתגבר על הבעיות של אפשרות 1 על ידי הגבלות שונות:
אסור לעשות אינדקס של ספר בעצמו, אסור לעשות רשימה של כל הספרים, אסור שכותרת הספר תתאר את הספר וכדומה.
אם אנחנו עושים את האמירות האלו מספיק כלליות, אפשר להמנע מבעיות לחלוטין. ניתן להוכיח שיש מתמטיקות שלא ניתן להגיע בהן לפרדוקסים.
אבל זה בא עם מחיר:
לא רק שאני אצטרך לוותר על הספר שלי – “כל הספרים שהשם שלהם מופיע בעצמם” (שהודפס ובסדר).
אבל גם אצטרך לוותר על הקטלוגים שהדפסתי בכיף שנה שעברה:
ספרים שיש בהם יותר מ100 עמודים, ספרים שיש בהם פחות מ100 עמודים.
שלא היתה איתם שום בעיה. אבל התנאים החדשים לא מרשים.
אחר כך אני גם לא יכול לקרוא את “איש הקובייה” כי החוקים החדשים לא מרשים לספר לכתוב את הכותרת שלו בעצמו.
ופתאום אני מגלה שנשארו לי מעט מאוד ספרים לקרוא, כי רוב הספרים מתארים את עצמם בכותרת ואני עובר לקרוא רכיבים של מוצרים במקום.
זה מרגיש קצת לא הוגן…

— סיכום —
המחיר שהמתמטיקה צריכה לשלם על הבחירה שלה לדבוק באמת חד משמעית ומדוייקת הוא שלעד יישארו דברים שהיא לא תוכל להתמודד איתם.
חלק יהיו מחוץ לעולם המושגים שלה (כמו ספר שמתייחס לעצמו)
וחלק יהיו בעולם המושגים שלה, אבל הכלים להוכחה יהיו בחוץ, ולכן יהיו דברים נכונים שהיא לא תוכל להוכיח.
תודה לכל מי שהגיע עד הלום, אני מקווה שהסבתי לכם חומר למחשבה.

* אני מתנצל בפני כל מי שהכותרת הטעתה אותו לחשוב שאני הולך לדבר על משפטים שגדלו על רגליים

הפוסט הזה הוא אמת מוחלטת

Thursday, March 4th, 2010
dictatorship1.jpg

הזכרתי כבר בעבר שקיימים סוגים שונים של לוגיקה.
לכבוד פורים ערכתי מסיבת חידות וניסיתי לאמץ אליה סוג אחר של לוגיקה שאכנה – לוגיקת העריץ.
זו לא המצאה שלי, זו לוגיקה קיימת ומוכרת גם בשלטונות מסויימים, כמו גם בכל חברה בעלת גוף ריבון על האמת (ע”ע דתיים).

כשהתחלנו את הערב ניסיתי להבהיר למשתתפים את החוק האחד של לוגיקת העריץ:
משפט הוא אמת מהרגע שאני אומר אותו.

באופן אישי, ניסיתי לדבוק בעקרונות האמת באופן שאני תופס אותם ללא קשר לחוק החדש, אבל זה לא משנה – בעולם הקטן שלנו, בין אם קלעתי לאמת מוכרת ובין אם לא, נשמרת האמת הפנימית.

הבעיה היתה שלוגיקות התנגשו. אף על פי שהצהרתי על הלוגיקה החדשה, ואף על פי שהמשתתפים הביעו נכונות לשתף פעולה, מושגים כמו אמת ושקר כל כך מושרשים בדמנו שקשה לנו לעבור לתפיסה זרה.

אני מודה שחלק ניכר מהתופעה הוא באשמתי, לא הייתי עריץ משכנע במיוחד, וכך נוצרה הבעיה הראשונה – אנשים התווכחו איתי, ובכך עם האמת המוחלטת.

זו לא בעיה מאוד חמורה, כי בסוף לרוב קיבלו את מרותי, ואם השתנתה דעתי בעקבות הוויכוח, אז עדיין האמת המוחלטת (שעכשיו היא שונה ממקודם) היא הקובעת. וחוץ מזה, גם בחיים האמיתיים אנשים מתווכחים עם מציאות ועובדות.

הבעיה החמורה (מבחינה לוגית) היתה שלפעמים כשאמרתי משהו היו שאמרו – לא ניתן להאמין לזה, משום שלפי הלוגיקה אתה עשוי לומר אחר כך משהו סותר וזו תהיה האמת.

זה נכון. לפי לוגיקה רגילה: אם אני אומר כל התפוחים אדומים. ואחר כך אני אומר כל התפוחים ירוקים, אם זו אמת אז המשפט הקודם שאמרתי היה שקר (בהנחה שקיימים תפוחים).

זה לא המקרה לפי לוגיקת העריץ. אני אומר כל התפוחים אדומים – זו אמת מוחלטת. אחר כך אני אומר כל התפוחים ירוקים – זו אמת מוחלטת. השאלה אם קודם שיקרתי כבר לא רלוונטית. אני עשוי לומר – תמיד אמרתי אמת וזו תהיה אמת מוחלטת אף על פי שכל התפוחים ירוקים.

2784370_611.gif
מנהיג – תמונת אילוסטרציה

קשה להכנס לראש של לוגיקת עריץ ולהבין את זה, אם הנושא מעניין אתכם הייתי ממליץ על הספר 1984.
בספר מציגים באופן מוצלח למדי חברה המושתתת על עקרון לוגיקת העריץ דרך עיניים של גיבור אשר מגיע עם לוגיקה “רגילה”. בהתחלה נראה לו שכולם משוגעים, איך אפשר להאמין שדברים סותרים הם אמת? איך אפשר באמת ובתמים להאמין ש4=5?
ובהמשך הסיפור הוא מצליח להטמיע עקרונות מלוגיקת העריץ.