Tagged: Math

יאיר לפיד הוציא דף שאמור לתת מענה על שאלות בנוגע לתקציב: כל מה שרציתם לשאול
הדף לא באמת נותן מענה בעיני, וגם אם הוא היה נותן – לשמוע את כותב התקציב מסביר למה התקציב טוב, יוצר בעית אמינות.

למזלנו יריבתו הפוליטית, שלי יחימוביץ, בנתה עבורנו את הגרף הבא:

הגרף מעוניין להציג כמה מהנטו הכנסה (כולל מיסים קצבאות ותמיכות) משק בית מאבד לאחר השינויים.

היא אף הגדילה לעשות וצרפה את הקובץ שבעזרתו יצרה את הגרף הכולל את הנתונים וההנחות

אני מאוד מעריך את אופן ההתנהלות, הוא מאפשר בדיקה קפדנית של הנתונים, הבנתם והבעת ביקורת.
אני מאוד מקווה שמידע נוסף בעתיד יוצג באופן דומה.

ועכשיו לביקורת.
קודם כל, ככל שאני מבין את הגרף – יש בו הנחה שקצבאות הילדים מבוטלות. ככל שאני יודע קצבאות הילדים מצטמצמות לכ140 שקלים לילד (Forbes)
לאחר החלפת החישוב קיבלתי את הגרף הבא


החישוב החדש

בגיליון 2, החלפתי את ההפסד מקצבת הילדים, בהפרש בינו ובין 140 שקלים. כלומר
35 <- 175 123 <- 263 155 <- 295 319 <- 459 142 <- 282[/spoiler]
ניתן לראות שהגרף דומה, אך הנטל נמוך יותר.

גרף נוסף שחשבתי שיהיה מעניין לייצר הוא לבדוק מה הנטו הכנסה כולל מיסים קצבאות ותמיכות ביחס להכנסה ברוטו לאחר גזרות לפיד (על סמך המידע באותו הקובץ):

הגרף מציג תמונה פחות עגומה, שנותנת יותר תחושה של צדק.

והנה אותו הגרף מלפני השינויים

אז מצד אחד, כן, הרפורמה פוגעת בעיקר בעשירון התחתון
מצד שני הפחתת קצבאות הילדים מלווה בהבטחת מזון לילדים, לפחות לפי עדי קול, ובתקווה תעודד אנשים פחות להסתמך על קצבאות הילדים ולהכנס לשוק העבודה. שוב מהצד הראשון – האם יש בכלל דרישה בשוק העבודה? איך מייצרים כזו?

צריך להעריך מאוד את העבודה ששלי עשתה עבורנו. היא מאפשרת לנו בקלות לבדוק את המצב מזוויות שונות, ולשנות הנחות שאיננו מסכימים איתן.
נראה שנבחרו פה הנחות מוטות, אבל וזה אבל גדול, היא נתנה לנו את הכלים להבחין בזה ולבקר את זה. זאת עלינו לדרוש מכל מי שנותן לנו מידע.

עוד נקודות שחשוב להתייחס אליהן:
הגרף לא מציג את ההשפעה של המיסוי על מוצרי היוקרה, וביטול נקודות זיכוי מס לסטודנטים. זה כתוב במפורש בגרף המקורי.
הגרף מניח חוסר שינוי בהרגלי צריכה.

אם מישהו עשה ניתוח מוצלח יותר אשמח לפרסם לינקים, ואשמח לשמוע הערות על הניתוח שלי.

לקראת הבחירות הקרבות, ניתן למצוא באינטרנטים הרבה מאמרים על הצבעה כנה או הצבעה אסטרטגית.

הצבעה כנה היא הצבעה למפלגה שהכי מאמינים בה.
הדוגמא הכי נפוצה להצבעה אסטרטגית, ואליה אתיחס בהמשך, היא הבחירה להצביע למפלגה גדולה יותר מהמפלגה שמאמינים בה בגלל החשש שהמפלגה שמאמינים בה לא תכנס לכנסת.

המסקנה שלי היא שהבחירה העדיפה היא הצבעה כנה:
1. ההשפעה:
קראתי (אם כי לא אימתתי) שבשיטת הבחירות בארץ יכולת ההשפעה על מפלגות קטנות, משמעותית יותר מיכולת ההשפעה על מפלגות גדולות. כלומר – כמות קולות שתעלה בשני מנדטים מפלגה קטנה, תעלה רק במנדט אחד מפלגה גדולה.
ובנושא אחוז החסימה – נסתכל רגע על 1000 אנשים שיעברו בדיוק את אותו תהליך שאתם הקוראים עוברים בדרך להחלטה (לכל אחד מאיתנו יש יותר מ1000 כאלו). אתם מתלבטים בין להצביע למפלגת הלב שאולי לא תעבור את אחוז החסימה לבין מפלגת השכל שאתם פחות מזדהים איתה אבל חשוב לכם להשפיע: אם האלף האלו אכן יצביע למפלגת השכל, במקרה הטוב ביותר בזכותכם מפלגת השכל תקבל עוד מנדט. לעומת זאת, אם תצביעו למפלגת הלב, במקרה הטוב ביותר – בזכותכם המפלגה תכנס לכנסת, מה שאומר שנתתם שלושה מנדטים למפלגה שאתם יותר קרובים לעמדות שלה.
2. בזבוז הקול:
אם דיברנו על המצב הטוב ביותר, בואו נדבר על המצב הגרוע ביותר.
בואו נודה בזה, יש אנשים לא איכותיים שמצליחים להכנס לכנסת. קיימת מחשבה שאם הקול שלך נמצא במפלגה שלא נכנסה לכנסת אז הקול שלך בוזבז כשהיה אפשר לנצל אותו בשביל למנוע כניסה של אחד מאותם גורמים עוינים.
למעשה, גם כשהקול שלך הולך למפלגות הקטנות (לעומת פתק לבן) הוא משפיע בזירה הפוליטית. כדי להכנס לכנסת צריך להשיג אחוז מסויים מהקולות, גם אם המפלגה שלך לא נכנסה, הקול שלך נספר לצורך החישוב הזה ואולי בזכותך תמנע כניסה של מפלגות קטנות ובעייתיות.
ככלל אצבע (כך קראתי ולא אימתתי) ההצבעה שלך עוזרת למפלגה שלך כנגד 60 מצביעים אחרים.
3. תחושה אישית:
מאוד פשוט – יותר נעים להצביע למפלגה שיותר מאמינים בה.
גם אחר כך, כשנשבור את הראש מול הטלוויזיה עם השאלה למה הנציגים שלנו מתנהגים באופן כה נורא, עדיפה בעיני התחושה שהצבעתי במשהו שאני מאמין בו ולא הצליח, על פני התחושה שוויתרתי על מה שרציתי ובנוסף זה לא הצליח.
4. הטווח הרחוק:
גם אם ההשפעה המיידית על השלטון אינה כפי שהייתם רוצים (וכשהקול שלך הוא אחד מאלפים, אף אחד לא משפיע כפי שהוא היה רוצה) יש משמעות להליך הבחירה.
אם מפלגות ידעו שהשיקול העיקרי של הבוחרים הוא להצביע למפלגה שהם מאמינים בה, של אנשים שעושים למען המדינה ועומדים במילה שלהם, אז יפעלו לכיוון הזה – ולכולנו תהיה דמוקרטיה נעימה יותר.

* עבור הבלתי משוכנעים – אני יודע שרבים האנשים התומכים בהצבעה אסטרטגית, למרות הטיעונים שהבאתי פה. אני מבקש שלא תפעילו לחץ על אנשים להצביע באופן אסטרטגי, כי התוצאה הנפוצה כשמשכנעים אנשים שהצבעה למפלגה שהם מאמינים בה היא חסרת ערך, זה שהם לא יצביעו.

הפוסט הקרוב הוא מתמטי וארוך.
ניסיתי לקבץ חלקים מסויימים ממנו בתקווה שזה יאפשר לכל אחד להתמקד בנושאים שמעניינים אותו, אשמח לשמוע את דעתכם על הניסיון הזה.

אספר על מכונת הימורים שחשבתי עליה, ולדעתי מעלה שאלות מעניינות על האינטואיציה שלנו.

למכונה שלי יש את התכונה הבאה: בחצי מהמקרים היא נותנת את התוצאה 2, ברבע מהמקרים היא נותנת את התוצאה 4, בשמינית מהמקרים היא נותנת את התוצאה 8 וכן הלאה…
כלומר – היא נותנת רק חזקות של שתיים, והסבירות לכל תוצאה, היא 1 חלקי התוצאה.
תכונה של המכונה הזו היא שלכל מספר שתבחרו (אפילו אי זוגי), הסיכוי שיצא מספר גדול ממנו הוא פחות מאחד חלקי המספר.


איך בונים מכונה כזו?
המכונה אולי נשמעת מסובכת, אבל מימוש שלה הוא די פשוט:
לוקחים מטבע, וזורקים אותו עד שיוצא פלי.
אם יצא פלי בניסיון הראשון, התוצאה שלנו היא 2
(הסיכוי שיצא פלי בניסיון ראשון הוא בדיוק חצי)
אם יצא פלי בניסיון שני, התוצאה היא 4
אם יצא פלי בניסיון הK
התוצאה היא 2 בחזקת K
בהנחה שהמטבע הוגן, זו בדיוק המכונה שתיארתי

עכשיו אני מציב את המכונה הזו במרכז העיר ומזמין אתכם להמר. ההימור פועל כך:
עליכם לבחור מספר כלשהו כרצונכם.
אתם מושכים את ידית ההימורים הגדולה, המספרים רצים קצת בשביל הרושם, ואז מופיע מספר על המסך הגדול של המכונה.
אם המספר שבחרתם גדול מהמספר במסך, אני משלם לכם את ההפרש.
אם המספר שבחרתם קטן מהמספר במסך, אתם משלמים לי את ההפרש.
(לצורך העניין, נדבר על סכומים בשקלים)

תופעות מעניינות במכונה הזו:
אין מגבלה על הסכום שאתם מהמרים עליו.
ככל שתהמרו על סכום גדול יותר, הרווח שלכם יגדל, והסיכון שלכם יפחת.


דוגמאות פשוטות
נניח למשל שבחרתם 10
יש לכם 50% להרוויח 8 שקלים
25% להרוויח 6 שקלים
12.5% להרוויח 2 שקלים
6.25% להפסיד 6 שקלים
6.25% להפסיד יותר מעשרה שקלים

אם לעומת זאת תהמרו על מיליון שקלים
יש יותר מ99% שתרוויחו יותר מ900,000 שקלים
וסיכון של פחות מאחד למיליון שתפסידו כסף.

עכשיו השאלות הן:
האם הייתם מסכימים להמר?
על איזה סכום?
האם עדיף עם מכונה כזו להיות הקזינו, או הלקוח?
אני חושב שהאינטואציה מצביעה בבירור שכדאי להמר במכונה כזו.
למעשה, לא כל כך ברור שזה נכון, מצד שני, גם לא ברור שלא.

נעבור לניתוח המכונה:
קודם כל


איך אפשר בכלל להפסיד כשרוב הסיכויים הם לנצח?
בשביל לתת אינטואציה שזה בכלל אפשרי, נערוך את הניסוי הבא:
אני אטיל קוביה.
אם יוצא אחד עד חמש, אני משלם לכם מאה שקל.
אם יוצא שש, אתם משלמים לי מיליון שקלים.
האם הייתם מוכנים לשחק במשחק הזה?
כנראה שלא.
(אם אני טועה, צרו איתי קשר באופן מיידי!)
למרות שרוב הסיכויים הם שתנצחו במשחק הזה, הסיכון שאתם לוקחים במקרה שתפסידו הוא גבוה מדי. אפילו אם אתם משחקים רק פעם אחת. משהו דומה קורה במכונה שבניתי – אומנם הסיכוי להפסיד הוא ממש קטן, אבל הסכומים שאפשר להפסיד הם ממש גדולים.

מי שיודע לחשב תוחלת, יודע שהתוחלת של המכונה שלי היא אינסופית.


מה זו תוחלת?
תוחלת, באופן אינטואיטיבי, היא התוצאה הממוצעת של הניסוי.
אם התוחלת של הניסוי היא אינסופית, זה לא אומר שבממוצע כשנריץ אותו נקבל אינסוף, הרי תמיד נקבל תוצאות סופיות, וברוב הפעמים אפילו תוצאות קטנות מעשר.
אז מה זה כן אומר?
זה אומר שלכל מספר שנבחר, אם נריץ את המכונה מספיק פעמים, הממוצע יעבור אותו מתישהו.
למה זה קורה?
נסתכל על הרצה “אפשרית” של המכונה, שבה התוצאות ייצגו את ההתפלגות באופן המלא ביותר.

נריץ את המכונה בכמות הולכת וגדלה:
שתי הרצות:
2, 2*
ממוצע = 2

ארבע הרצות:
2, 2, 4, 2*
ממוצע = 2.5

שמונה הרצות:
2, 2, 2, 2, 4, 4, 8, 2*
ממוצע = 3.25

16 הרצות:
2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 8, 8, 16, 2*
ממוצע = 4.125

2* מתווסף לכל רשימה על מנת לאפשר שכל שאר התוצאות חוץ ממנו, יהיו בדיוק לפי ההתפלגות שקבענו.
אפשר להחליף אותו בכל מספר, והתופעה תשאר כפי שהיא.

בסופו של דבר, אם החלטתם להמר במכונה שלי, והימרתם על אלף שקלים, הפעולה שלי תהיה להמשיך ולתת לאנשים להמר.
ברגע שאני אמצא אלף אנשים שיסכימו להמר על אותו הסכום, אחד מהם כנראה יצא מופסד.
ברגע שאני אמצע מיליון אנשים שיסכימו להמר על אותו הסכום, כנראה שיהיה לי רווח.
(מאחר ומדובר בהסתברות, המילה כנראה נמצאת פה הרבה)

אם אני מסוגל להרוויח כסף, סימן שההימור שלכם לא משתלם, הסיכון גבוה מדי.
ואכן זה כך, אין מגבלה במכונה לסכום כסף שאני עלול לדרוש מכם על השתתפות בה.


יישום מעשי – פקדון
בואו נהיה לרגע מעשיים.
נניח ואני אתפוס אדם תמים ברחוב ואציע לו את העסקה, הוא יסכים ויהמר על עשרה שקלים צנועים, אומנם זה קורה רק פעם במיליון, אבל דווקא אצלו זה קרה – המכונה כתבה את המספר מיליון. הוא יראה זאת, יבהל ויברח, הרי בכלל אין לו מיליון שקלים בבנק גם אם ימשכן את כל רכושו.
אנשים כאלו, יהרסו את הרווח שלי כבעל קזינו. על מנת למנוע מקרים כאלו, מבלי להרוס את המכונה שבניתי, אני דורש פקדון.
אקבע את הפקדון כך שאם אנשים יחליטו לברוח, הכסף שהם ישאירו עדיין יהיה מספיק כדי שלאורך זמן אני אצא ברווח.
לא משנה מה הפקדון שאקבע, הוא לא ישפיע על המכונה. הרי אם תנצחו תקבלו את הכסף המגיע לכם, והפקדון יחזור אליכם במלואו. ואם תפסידו, תשלמו את הסכום שאתם חייבים לי, ותקבלו מה שנשאר מהפקדון חזרה בהנחה ונשאר.
השוני היחיד הוא במידה ותחליטו לברוח, והרי אתם הנכם אנשים הגונים, שלא כמו אותו אדם תמים. אתם תשארו עם העסקה עד הסוף.

הפקדון שאקבע לצורך כך יהיה בגודל המסובך הבא:
תקחו את הסכום שבחרתם, תוסיפו לו אחד.
שתים בחזקת התוצאה, זה גודל הפקדון.

פקדון זה יבטיח לי רווח לאורך זמן.
אם למשל תרצו לשחק את המשחק על עשרה שקלים, תצטרכו לשלם פקדון של אלפיים שקל.
תרצו לשחק על עשרים, הפקדון יהיה מעל מיליון.

אם פתאום אתם חושבים שהמשחק נשמע פחות מפתה, האם יכול להיות שבעצם גם אתם אנשים לא הגונים? שלא באמת התכוונתם לשלם כל סכום שעלול לצאת?!

אם שכנעתי אתכם שעדיף להיות בצד הקזינו, ואתם רוצים למהר למרכז העיר ולהתחיל לחפש קורבנות:


חכו עוד רגע אחד
באופן מעשי, פתרון הפקדון לא מאפשר לבן אנוש להמר על יותר מ100 שקל.
אם גם ככה שמים מגבלה על סכום ההימור, אפשר לקבוע מגבלה שרירותית אחרת, למשל 1000 שקל. עבור סכום מקסימלי של X שקלים, ייקח סדר גודל של X משחקים עד שתשלים את ההפסד ההתחלתי ותתחיל להרוויח (כל עוד מדובר בשחקנים הגונים, אבל אם יש מגבלה על הסכום המקסימלי אפשר לשים מגבלה על החוב, וכך להשיג משחק הגון יותר בקלות)
רק שבעצם, אם שמים גג למספר המקסימלי שאפשר להמר, הורגים את המשחק. כי לאף אחד לא יהיה אינטרס להמר פחות מזה, וזה הופך למכונת הימורים פשוטה ומשעממת.

אז בואו נגיד שהשארנו את שיטת הפיקדון שלא מאפשרת לבני אנוש להמר יותר מ100 שקלים. מה קורה אם פתאום באים יצורים מהחלל החיצון, שיכולים להרשות לעצמם להמר על זיליארד דולרים ולתת פקדון של 2 בחזקת זיליארד דולרים?
קרוב לוודאי (בהסתברות ההופכית של 1 לזיליארד) שהם ינצחו בהימור הזה, ואז אתה הקזינו תהיה בחובות של זיליארד דולרים וכנראה שברגע זה תהפוך לאותו אדם לא ישר שנאלץ לברוח על חייו (מומלץ לברוח עם הפיקדון)
איך זה מסתדר עם זה שהמכונה שלנו אמורה להיות רווחית?
היא תהיה רווחית, אם יהיו עוד זיליארדים של חייזרים שיהמרו על זיליארד דולרים. אבל מאחר וחייזרים שמוכנים להמר על זיליארדי דולרים לא נפוצים במחוזותינו, המכונה לא תהיה רווחית (בסבירות מאוד גבוהה)

לסיום, לא צריך להרחיק עד החלל החיצון בשביל להכנס לחובות.
הסיבה שהמכונה עובדת הוא בגלל שיש פה פונקצית רווח שעולה מספיק מהר. אם יבוא מישהו ויתחיל להמר בפונקצית הימורים שתעלה יותר מהר מהפונקציה שלנו, הוא יוכל להבטיח לעצמו רווח בטוח לאורך זמן!
איך עושים את זה?
באים ומהמרים על שלושה שקלים.
אחר כך על תשעה שקלים.
אחר כך על 28 שקלים.
בהימור הX מהמרים על 3 בחזקת X שקלים.
גם אם בדרך הוא ייכנס לחובות של מיליוני שקלים, השיטה הזו תבטיח שבהמשך הדרך הכסף יחזור אליו.

סיכום:
המכונה הזו, על אף היותה פשוטה מאוד לבנייה בפועל, היא בעייתית דיה כך שאין אינטרס להשתמש בה כנראה לא מצד המהמר ולא מצד הקזינו.
אך היא נראית בעיני ככלי מצויין לפיתוח אינטואציה אודות הסתברות, ולפיתוח דיון מעניין.

בעית ארבע הצבעים היא בעיה במתמטיקה האומרת שניתן לצבוע כל מפה בעזרת ארבעה צבעים בלבד כך שלא יהיו שני שטחים שנוגעים זה בזה.
אתם מוזמנים להתנסות בצביעת מפה באופן כזה עם האפליקציה הזו:





מפות נוספות

הבעיה הזו עניינה אותי במיוחד, בגלל שהיא מקשרת בין עולם המתמטיקה לעולם המחשבים.
בשנת 1976 חוקרים מאוניברסיטת אלנוי הצליחו להוכיח את המשפט.
הם הוכיחו זאת על ידי פירוק הבעיה ל1936 תת-בעיות קטנות ובדיקת כל אחת מהן בנפרד במחשב, הרצה שנמשכה מספר ימים.

החיבור בין מתמטיקה למחשבים הוא הכרחי, אך לא טבעי. החוקרים בשני התחומים הם בעלי מנטליות שונה לחלוטין. למשל מחקר חדש במתמטיקה צריך לעבור תהליך של חודשים עד שנים של בדיקה על ידי מומחים לפני שהוא מפורסם, לעומת זאת מחקר במחשבים שיקח לו יותר מחודש להתפרסם עלול לאבד רלוונטיות.

הפער הקשה לגישור הזה גרר הרבה ביקורת על ההוכחה מצד מתמטיקאים.
שתי הטענות שאתייחס אליהן הן:
ההוכחה לא תקפה – מתמטיקה היא מדע מדויק, הוכחה צריכה להרשם באופן שניתן לעבור על כל פרט שלה, אסור שמחשב יבדוק אותה כי אפילו אם קיים סיכוי של 0.00001% לטעות (בין אם באלגוריתם, בהקלדה, במימוש של המחשב או טעות מכנית שכן מחשב הוא מכונה מבוססת זרם חשמלי) אז זו לא הוכחה מתקבלת. גם אם נבדוק את האלגוריתם ונריץ על המון מחשבים, וניתן למחשבים לבדוק אחד את השני, מאחר ולעולם אנשים לא יוכלו לעבור שלב שלב על ההוכחה כולה היא לא תקפה.
ההוכחה לא יפה – הרבה מתמטיקאים התאכזבו לגלות שכך הוכח המשפט, מאחר ובדרך כלל הוכחה של משפט מתמטי מלווה בשימוש במספר כלים ממספר תחומים שבאופן מפתיע משתלבים יחד. בדרך כלל מעצם ההוכחה מקבלים תובנות חדשות שאינן נובעות מעצם המשפט שהוכח לבדו. בהוכחה שמבוססת על בדיקת המון מקרים אחד אחד זה לא קורה.

אני, שמגיע מתחום המחשבים, מתנגד נחרצות לטענות האלו, על סף האשמת המתמטיקאים בטכנופוביה (בלי הכללות, הרבה מהם כן מקבלים את ההוכחה)
לטענתי:
ההוכחה כן תקפה – אנחנו יודעים איך מחשב עובד, ונוכל לבדוק את ההוכחה שוב ושוב ככל שהטכנולוגיה תשתפר ולכן יחסית אפשר לסמוך עליו. כשאני אומר יחסית, אני מתכוון לעומת מכונות מבוססות אינטרקציות כימיות אקראיות, שאנחנו לא מבינים איך הן עובדות, אנחנו יודעים בוודאות שבמקרים מסוימים תפיסת המציאות שלהן שגויה, ורוב ההוכחות המתמטיות בוצעו על ידן: בני האדם.
ההוכחה כן יפה – ברגע שהצלחנו להוכיח בעיה מתמטית בעזרת מחשב, נפתח בפנינו עולם חדש שלם של גישה לבעיות מתמטיות, אילו עוד בעיות אפשר להכריע באופן דומה? איך פותרים בעיות מורכבות יותר?
חוץ מזה שעל מנת להצליח לפתור בעיה מתמטית עם מחשב, צריכים לעשות שימוש לא צפוי בידע ממקומות שונים של מדעי המחשב, ומקבלים תובנות חדשות על שימוש באלגוריתמים.

נושא בעית ארבע הצבעים היווה נקודה מרכזית בנוגע לתפיסה שלי במתמטיקה, כך לראשונה נחשפתי לעובדה שתקפות של הוכחה מתמטית הוא נושא בר וויכוח. אני מקווה לשוב לדון על תופעה מעניינת זו בפוסטים עתידיים.

לקריאה נוספת: משפט ארבעת הצבעים בויקיפדיה

חוזרים ללימודים

Screen shot 2010-03-23 at 10.04.11 PM.png

זה פתרון של תרגיל מהשיעורים שלי.
אני מסתכל פה ויש משהו שלא מסתדר טוב.
איך זה שפעולות בין משולשים שעומדים על הקודקוד עם עיגולים חצויים, מביאות אותנו בסוף למשולשים שעומדים על הבסיס וקווים אנכיים?
מאיפה הם צצו? הם אפילו לא היו בנוסחה!

עמוד: 1 2 הבא