על מה מתערבים?

המכונה אולי נשמעת מסובכת, אבל מימוש שלה הוא די פשוט:
לוקחים מטבע, וזורקים אותו עד שיוצא פלי.
אם יצא פלי בניסיון הראשון, התוצאה שלנו היא 2
(הסיכוי שיצא פלי בניסיון ראשון הוא בדיוק חצי)
אם יצא פלי בניסיון שני, התוצאה היא 4
אם יצא פלי בניסיון הK
התוצאה היא 2 בחזקת K
בהנחה שהמטבע הוגן, זו בדיוק המכונה שתיארתי

נניח למשל שבחרתם 10
יש לכם 50% להרוויח 8 שקלים
25% להרוויח 6 שקלים
12.5% להרוויח 2 שקלים
6.25% להפסיד 6 שקלים
6.25% להפסיד יותר מעשרה שקלים

אם לעומת זאת תהמרו על מיליון שקלים
יש יותר מ99% שתרוויחו יותר מ900,000 שקלים
וסיכון של פחות מאחד למיליון שתפסידו כסף.

בשביל לתת אינטואציה שזה בכלל אפשרי, נערוך את הניסוי הבא:
אני אטיל קוביה.
אם יוצא אחד עד חמש, אני משלם לכם מאה שקל.
אם יוצא שש, אתם משלמים לי מיליון שקלים.
האם הייתם מוכנים לשחק במשחק הזה?
כנראה שלא.
(אם אני טועה, צרו איתי קשר באופן מיידי!)
למרות שרוב הסיכויים הם שתנצחו במשחק הזה, הסיכון שאתם לוקחים במקרה שתפסידו הוא גבוה מדי. אפילו אם אתם משחקים רק פעם אחת. משהו דומה קורה במכונה שבניתי – אומנם הסיכוי להפסיד הוא ממש קטן, אבל הסכומים שאפשר להפסיד הם ממש גדולים.

תוחלת, באופן אינטואיטיבי, היא התוצאה הממוצעת של הניסוי.
אם התוחלת של הניסוי היא אינסופית, זה לא אומר שבממוצע כשנריץ אותו נקבל אינסוף, הרי תמיד נקבל תוצאות סופיות, וברוב הפעמים אפילו תוצאות קטנות מעשר.
אז מה זה כן אומר?
זה אומר שלכל מספר שנבחר, אם נריץ את המכונה מספיק פעמים, הממוצע יעבור אותו מתישהו.
למה זה קורה?
נסתכל על הרצה “אפשרית” של המכונה, שבה התוצאות ייצגו את ההתפלגות באופן המלא ביותר.

נריץ את המכונה בכמות הולכת וגדלה:
שתי הרצות:
2, 2*
ממוצע = 2

ארבע הרצות:
2, 2, 4, 2*
ממוצע = 2.5

שמונה הרצות:
2, 2, 2, 2, 4, 4, 8, 2*
ממוצע = 3.25

16 הרצות:
2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 8, 8, 16, 2*
ממוצע = 4.125

2* מתווסף לכל רשימה על מנת לאפשר שכל שאר התוצאות חוץ ממנו, יהיו בדיוק לפי ההתפלגות שקבענו.
אפשר להחליף אותו בכל מספר, והתופעה תשאר כפי שהיא.

בואו נהיה לרגע מעשיים.
נניח ואני אתפוס אדם תמים ברחוב ואציע לו את העסקה, הוא יסכים ויהמר על עשרה שקלים צנועים, אומנם זה קורה רק פעם במיליון, אבל דווקא אצלו זה קרה – המכונה כתבה את המספר מיליון. הוא יראה זאת, יבהל ויברח, הרי בכלל אין לו מיליון שקלים בבנק גם אם ימשכן את כל רכושו.
אנשים כאלו, יהרסו את הרווח שלי כבעל קזינו. על מנת למנוע מקרים כאלו, מבלי להרוס את המכונה שבניתי, אני דורש פקדון.
אקבע את הפקדון כך שאם אנשים יחליטו לברוח, הכסף שהם ישאירו עדיין יהיה מספיק כדי שלאורך זמן אני אצא ברווח.
לא משנה מה הפקדון שאקבע, הוא לא ישפיע על המכונה. הרי אם תנצחו תקבלו את הכסף המגיע לכם, והפקדון יחזור אליכם במלואו. ואם תפסידו, תשלמו את הסכום שאתם חייבים לי, ותקבלו מה שנשאר מהפקדון חזרה בהנחה ונשאר.
השוני היחיד הוא במידה ותחליטו לברוח, והרי אתם הנכם אנשים הגונים, שלא כמו אותו אדם תמים. אתם תשארו עם העסקה עד הסוף.

הפקדון שאקבע לצורך כך יהיה בגודל המסובך הבא:
תקחו את הסכום שבחרתם, תוסיפו לו אחד.
שתים בחזקת התוצאה, זה גודל הפקדון.

פקדון זה יבטיח לי רווח לאורך זמן.
אם למשל תרצו לשחק את המשחק על עשרה שקלים, תצטרכו לשלם פקדון של אלפיים שקל.
תרצו לשחק על עשרים, הפקדון יהיה מעל מיליון.

אם פתאום אתם חושבים שהמשחק נשמע פחות מפתה, האם יכול להיות שבעצם גם אתם אנשים לא הגונים? שלא באמת התכוונתם לשלם כל סכום שעלול לצאת?!

באופן מעשי, פתרון הפקדון לא מאפשר לבן אנוש להמר על יותר מ100 שקל.
אם גם ככה שמים מגבלה על סכום ההימור, אפשר לקבוע מגבלה שרירותית אחרת, למשל 1000 שקל. עבור סכום מקסימלי של X שקלים, ייקח סדר גודל של X משחקים עד שתשלים את ההפסד ההתחלתי ותתחיל להרוויח (כל עוד מדובר בשחקנים הגונים, אבל אם יש מגבלה על הסכום המקסימלי אפשר לשים מגבלה על החוב, וכך להשיג משחק הגון יותר בקלות)
רק שבעצם, אם שמים גג למספר המקסימלי שאפשר להמר, הורגים את המשחק. כי לאף אחד לא יהיה אינטרס להמר פחות מזה, וזה הופך למכונת הימורים פשוטה ומשעממת.

אז בואו נגיד שהשארנו את שיטת הפיקדון שלא מאפשרת לבני אנוש להמר יותר מ100 שקלים. מה קורה אם פתאום באים יצורים מהחלל החיצון, שיכולים להרשות לעצמם להמר על זיליארד דולרים ולתת פקדון של 2 בחזקת זיליארד דולרים?
קרוב לוודאי (בהסתברות ההופכית של 1 לזיליארד) שהם ינצחו בהימור הזה, ואז אתה הקזינו תהיה בחובות של זיליארד דולרים וכנראה שברגע זה תהפוך לאותו אדם לא ישר שנאלץ לברוח על חייו (מומלץ לברוח עם הפיקדון)
איך זה מסתדר עם זה שהמכונה שלנו אמורה להיות רווחית?
היא תהיה רווחית, אם יהיו עוד זיליארדים של חייזרים שיהמרו על זיליארד דולרים. אבל מאחר וחייזרים שמוכנים להמר על זיליארדי דולרים לא נפוצים במחוזותינו, המכונה לא תהיה רווחית (בסבירות מאוד גבוהה)

לסיום, לא צריך להרחיק עד החלל החיצון בשביל להכנס לחובות.
הסיבה שהמכונה עובדת הוא בגלל שיש פה פונקצית רווח שעולה מספיק מהר. אם יבוא מישהו ויתחיל להמר בפונקצית הימורים שתעלה יותר מהר מהפונקציה שלנו, הוא יוכל להבטיח לעצמו רווח בטוח לאורך זמן!
איך עושים את זה?
באים ומהמרים על שלושה שקלים.
אחר כך על תשעה שקלים.
אחר כך על 28 שקלים.
בהימור הX מהמרים על 3 בחזקת X שקלים.
גם אם בדרך הוא ייכנס לחובות של מיליוני שקלים, השיטה הזו תבטיח שבהמשך הדרך הכסף יחזור אליו.